삼각방정식 풀이에 관한 팁

(2012. 1. 10.)

 

 

지난 주말 탄성안정론 중 기둥의 좌굴에 관한 내용을 공부하다가 삼각방정식 풀이에서 막혔던 부분이 해소되어 기쁜 마음을 주체하지 못하고 포스팅을 한다. 이러한 사실을 원래 알고계신 고수분들에겐 별거 아닌 내용이지만 나처럼 하수 수험생에겐 머리를 아무리 싸매고 연구해도 해결되지 않는 난제이기에 비슷한 처지의 분들에게는 한줄기 빛과 같은 팁이 아닐수 없다.

 

 

 

 

2010년도 기술고시 구조역학 5번 문제이다. (참고로 W. F. Chen의 Structural Stability라는 책에 이 문제와 거의 비슷한 예제가 있다. 그 예제에는 상하 보의 휨강성이 EI로 주어져 있다.) 궁금증은 이 문제로부터 시작되었다. 작년에 이 문제를 풀고 노트에 정리를 해뒀는데 간만에 다시 풀어보려고 봤더니 감이 떨어진건지 풀이가 어려웠다.

 

결국 좌굴문제 중 손쉬운 것부터 다시 복습을 해나가며 머릿속에 정리된 내용들을 하나둘씩 떠올리며 복습을 했는데 문제는 기둥의 지배 미분방정식을 세운 후 일반해를 계산하는 과정에서 삼각방정식을 계산기로 풀다가 뜻하지 않게 생겨났다.

 

 

 

 

x가 양일때 위의 세식은 전부 동일한 식의 변형일 뿐이다. 처음에 (1)식으로 계산을 했다.

(내가 사용하는 Ti-89t의 에뮬레이터로 돌리고 캡쳐한 이미지를 올려본다.)

 

 

 

 

보다시피 결과가 6.28319가 나왔다. 그런데 작년에 정리한 노트의 결과와 달랐다. 뭐가 잘못된건지 풀이를 한참을 들여다봐도 논리적 오류는 발견하지 못했다.

 

결국 노트에 정리한 풀이를 살펴봤다. 거기에는 (1)식의 변형인 (3)식으로 풀이를 했길래 혹시나 하는 마음에 (3)식으로 계산기를 돌려봤다.

 

 

 

 

5.14086이라는 결과가 나왔고 노트에 정리한 답과 같았다. 단순히 식만 변형했을 뿐인데 답이 달라지니 계산기 옵션을 잘못 선택했나 아무리 봐도 이상은 없었다. 한참을 궁리하다 혹시나 하는 마음에 (2)식을 계산기로 돌려봤다.

 

 

 

 

이번엔 16.6059가 나왔다. 뭔가 분명히 잘못되었기 때문에 동일한 식의 계산결과가 다르다는 것은 알았지만 도무지 뭐가 잘못된건지 알 수가 없었다. 만약 시험장에서 이렇게 된다면 내가 아무리 과정을 올바르게 진행하였다 할지라도 결과가 틀려지는 꼴이니 정답이 뭔지 확신조차 할 수 없는 상황까지 간다는 결론에 이르렀다.

 

 

도저히 내 머리로는 해결할 수 없어 DB에 질문글을 남겼는데 이웃이신 lupin66님께서 완벽한 답변을 해주셨다. 원문 그대로 옮겨본다.

 

 

제가 TI 사용자는 아니지만 계산기의 기능은 대동소이하므로 답변을 드릴 수 있을 것 같습니다. 문자 계산이 아닌 숫자 계산에서 식의 해를 구할 때 대부분의 계산기는 Newton Raphson 또는 Modified Newton Raphson Method을 사용합니다. 이것이 무지막지 수렴도 빠른 방법인데 몇가지 전제 조건이 필요합니다. 각설하고 개살구님이 준 식을 그려보면 다음과 같습니다.

 

 

 

 

Newton raphson method을 대략적으로 설명을 하면

1) 초기값의 위치에서 접선을 그립니다.  

2) 접선과 x축이 만나는 점에서 수직으로 올라가서 곡선상에서 새로운 초기값을 구합니다.

1) 과 2)의 과정을 근의 값이 오차내에 있을 때까지 반복하여 해를 구합니다.

 

매우 수렴이 빠른 방법이기는 한데 몇가지 약점이 존재합니다. 위의 설명에서와 같이 초기값들의 위치에서 접선이 x축과 만나야합니다. (즉 미분 가능하고 미분값이 0이 아니어야 합니다.) Taylor 급수를 보면 Newton Raphson 방법을 이해를 할 수 있는데 f'(x)가 분모에 들어갑니다.

 

그리고 또 다른 약점이 초기값을 어떻게 주느냐입니다. 위의 식을 보면 정부 근처의 값(즉 3 근처의 값)을 주면 2번째 또는 3번째 해에 수렴할 수도 있습니다. - 직접 접선을 그려서 해보십시요. 그리고 6 이상의 초기값을 주었을 경우 해는 2번째로 큰 해에 수렴할 확률이 커집니다. 물론 2번째 정부에 가까운 값이 되면 어리로 튈지 모릅니다. ^_^.

 

마찬가지로 8을 넘는 값을 초기값으로 주면 세번째 해에 수렴할 확률이 커지게 됩니다. Mathematica나 Maple의 Newton Raphson 방법을 사용할 때는 초기값을 지정해주는 항이 있습니다. 제 계산기인 HP50g에서는 Number Solving을 할 때 초기값을 주는 항이 있습니다. 그 초기값을 적절하게 넣어야 계산이 가능해지는 것이지요.

 

그래서 곡선이 이상하게 변하는 초월함수가 포함된 식의 해를 계산기로 구할 때 저는 우선 그래프를 그려봅니다. 그리고 그 그래프에서 해를 찾을 수 있는 적절한 초기값을 선정하여 함수의 해를 구합니다.

 

 

공학용 계산기의 원리까지 등장하니 왜 계산기가 동일한 식의 변형을 다른 값으로 풀이했는지에 대한 감이 온다. 일단 답변대로 그래프를 먼저 그려보기로 한다.

 

 

 

 

(1)식으로 그리되(나머지도 똑같은 형상) 범위는 개략적으로 0과 8사이의 값으로 한다.

 

 

 

 

위의 답변에서 본것과 같은 형상의 그래프가 그려지고 눈금만 읽어보면 5보다 조금더 큰 값, 그리고 6보다 큰 값에서 해가 존재함을 알 수 있다. 기둥의 좌굴하중은 최소값이니 구하고자 하는 답은 5보다 약간 큰 값이라는 사실을 그래프를 그려봄으로써 간단히 알 수가 있다.

 

다시 (1)식으로 풀이를 하되 조건을 5와 6 사이의 값으로 한정하여 입력한다.

 

 

 

 

모든 식에서 범위를 한정하여 풀이하니 마찬가지의 결과를 얻을 수 있었다. 결국 삼각방정식 문제는 해를 계산하기전 그래프로 개략적인 해를 확인한 후 그 구간에 맞는 적절한 범위를 지정해야 문제에서 요구하는 정확한 답을 계산할 수 있다는 것이 오늘의 포인트다.