거실형 텐트의 단면적 비교

(2016. 4. 27.)

원래는 각종 거실형 텐트의 부피가 어떻게 다른지 정량적으로 계산해 보고자 하는 지적호기심(?)에서 출발했으나 각각의 텐트 단면이 일괄적으로 동일하다면 그 계산을 어렵지 않게 해볼 수 있겠지만 대부분 가운데가 가장 넓고 양쪽으로 갈수록 좁아지는 형태를 띄고 있는데다가 양쪽 끝단이 타프스크린처럼 수직으로 떨어지지 않고 비스듬하게 모양을 잡아놔서 첫번째 좌절을 했고,

그나마 가운데 단면을 중심으로 좌우가 대칭일 경우 양쪽 단면적을 구해 양단면 평균법으로 부피를 개략적으로나마 계산해 볼 수 있겠는데 의외로 거실형 텐트는 좌우 대칭이 아닌 전실쪽과 이너쪽 모양에 차이가 있는 비대칭 단면이라 두번째 좌절을 했습니다.

그동안 머릿속으로 구상한게 아까워서 결국 방향을 바꿔 중앙 단면, 즉 가장 넓은 단면의 단면적은 텐트별로 어떤 차이가 있는지로 생각을 진행시켰습니다.

먼저 단면적을 구하기 위해서는 일단 단면의 형상을 함수로 표현해야 하는데 그 형태가 반원형이라기 보다는 중학교 수학시간에 배운 2차 곡선에 가깝다고 생각을 하고 단면형상을 추정해 보았습니다.

콜맨의 대표적인 동계용 거실텐트인 코쿤2를 예로 들어보겠습니다.

보시는 바와 같이 중앙단면의 폭은 4m, 높이는 2.2m 입니다.

잘 아시다시피 2차 곡선의 일반형은 의 형태로 표현됩니다. 여기서 중앙 단면의 좌측 하단부가 지면과 만나는 붉은색 점을 원점(0,0)이라고 가정하면 c값은 0이 되므로 로 간략화 할 수 있습니다.

이때 이 함수는 위로 볼록하며, 꼭지점이 (2,2.2)가 되고, 우측 하단부가 지면과 만나는 점은 (4,0)이 되므로 이 두점을 윗 식에 대입하면 2원1차 연립방정식으로 간단하게 a와 b의 값을 구할 수 있게 됩니다. 이렇게 구해진 값을 넣고 다시 정리하면 코쿤2의 중앙단면은 2차함수로  라고 표현할 수 있게 되는 것이죠.

그런데 실제 코쿤의 단면 형상과 이론으로 구한 형상의 차이가 있을 수 있으므로 좀더 정확도를 높이기 위해 이번에는 2차 곡선이 아닌 사인곡선으로 가정하고 계산을 해보겠습니다.

원점을 지나면서 주기가 w인 사인함수의 일반형은 입니다. 뭐 고등학교 1학년 수학시간에 배우는 삼각함수 다들 기억하시잖아요. 이과에서만 배우는 수2에서 나오는 내용도 아니고 문이과 공통수학에 나오는 내용이니 고등교육을 정상적으로(?) 수료하신 분들이라면 이해하시는데 크게 어려움(?)이 없으리라 생각됩니다. 읭?

이 단면은 사인함수의 절반 모양이므로 주기는 단면폭(4m)의 두배인 8m라 할 수 있으며, a값을 구하기 위해 꼭지점의 좌표 (2,2.2)를 대입하면 쉽게 a값을 구하여 라는 결과를 얻을 수 있게 됩니다.

이제 앞에서 구한 두개의 함수(2차함수, 사인함수)를 그래프로 표현해 보겠습니다.

녹색으로 표시한 그래프가 2차 곡선 이고, 붉은색으로 표시한 그래프가 사인함수 입니다.

머릿속으로만 생각했을때는 2차 함수보다 사인함수가 실제의 텐트 단면과 더 유사할 것이라 생각했는데 막상 그래프로 표시해서 비교해보니 삼각함수보다 2차 함수가 실제 텐트 형상과 더 유사하다는 결론을 도출할 수 있습니다. (실제 모양은 좀더 옆으로 퍼져야 함)

마지막으로 두개의 함수를 가지고 각각의 단면적을 구해보겠습니다. 면적은 적분으로 쉽게 구할 수 있는데 수계산도 가능한 쉬운 적분이지만 아주 쉽게 공학용 계산기를 이용해서 구해보겠습니다.

결과는 위와 같이 사인함수일 경우 5.602㎡, 2차 함수일 경우 5.867㎡로 두개의 단면적은 약 4.6%의 오차를 갖게 됩니다. 실제 단면적은 아마도 2차 함수로 구한 단면적 5.867㎡ 보다 약간 큰 값을 갖게 될 것으로 추측됩니다.

코쿤2의 단면적을 구했으니 이제 같은 방식으로 다른 거실형 텐트의 단면적을 구해서 비교해 보겠습니다. 그런데 이제부터는 각각의 단면을 구한 뒤 전체적인 비교를 하기 위해 꼭지점을 지나는 수직선을 대칭축으로 하여 2차 함수를 계산해 보도록 하겠습니다. 

앞서 2차 함수를 구한것과 비슷한 방식으로(제 기억으로는 중학교 3학년 과정쯤 될겁니다.) 중간 과정을 생략하고 결과만 보여드리도록 하죠.

먼저 코베아의 이스턴입니다.

중앙 단면의 폭은 4.3m이고 높이는 2.25m 입니다.

이것을 2차 함수로 표현하면 이고 그래프는 아래와 같습니다.

단면적은 6.453㎡ 입니다.

캠프타운의 빅돔S입니다.

중앙 단면의 폭은 5m이고 높이는 2.7m 입니다.

이것을 2차 함수로 표현하면 이고 그래프는 아래와 같습니다.

단면적은 9㎡ 입니다.

코오롱의 슈퍼펠리스 입니다.

중앙 단면의 폭은 4.15m이고 높이는 2.13m 입니다.

이것을 2차 함수로 표현하면 이고 그래프는 아래와 같습니다.

단면적은 5.897㎡ 입니다.

위켄즈의 알레그로 입니다.

중앙 단면의 폭은 3.9m이고 높이는 2.1m 입니다.

이것을 2차 함수로 표현하면 이고 그래프는 아래와 같습니다.

단면적은 5.457㎡ 입니다.

참고적으로 돔텐트를 하나 더 해보겠습니다. 일반적으로 많이 사용하는 크기인 콜맨의 4S270 입니다.

중앙 단면의 폭은 2.7m이고 높이는 1.7m 입니다.

이것을 2차 함수로 표현하면 이고 그래프는 아래와 같습니다.

단면적은 3.061㎡ 입니다.

그 이외에 무수히 많은 텐트들이 있지만 일단 이정도로만 하고 필요하신 분이 있다면 위 방법을 참고해서 직접 계산해 보시면 될 겁니다.

이제 앞서 구한 거실형 텐트의 단면적을 종합적으로 비교해 보기 위해 하나의 그림으로 표현해보겠습니다.

보시는 바와 같이 빅돔S가 가장 크고 거실형 텐트중 알레그로가 가장 작지만 특이할 만한 사항은 비교군 거실형 텐트는 대체로 일정한 비율로 폭과 높이가 비슷한데 코쿤2의 경우 폭에 비해 상대적으로 높이가 높습니다.

거실형 텐트는 아니지만 많이들 사용하시는 타프스크린과 비교를 해보도록 하겠습니다.

일반적인 렉타타프 사이즈(5.5m×4.4m)에 들어가야 하므로 렉타타프 보다는 약간 작은 4.5m×4.0m×2.4m의 크기를 갖고 단면적은 9.45㎡ 입니다.

다같이 한꺼번에 그려놓으니 직관적으로 크기를 가늠하기가 수월하리라 생각됩니다. 물론 어디까지나 중앙 단면 기준이고 길이는 또 제각각이긴 하지만요.

이상으로 쓸데없는 지적호기심이 불러온, 구상은 창대하였으나 그 끝은 미약한 용두사미 뻘 고찰글이자 아무짝에도 쓸모없는 거실형 텐트의 단면적 구하기를 마칩니다.

## 내용추가(2016. 4. 28.)

오늘 아침 출근을 준비하며 화장실에서 깊은 명상(?)에 잠긴 도중 아무리 생각해도 2차 함수로 거실형 텐트의 형상을 표현한다는게 오차가 클 것 같아서 찜찜했는데 아르키메데스의 유레카에 비견할만한 획기적인 아이디어(?)가 떠올랐습니다.

기존의 2차 함수는 실제 텐트 형상에 비해 너무 슬림해서 꼭지점을 중심으로 좀더 옆으로 퍼져야 하는데 4차 함수의 일반적인 형태가 아닌 조금 특수한 형태로 변형하면 비슷하지 않을까 하다가 두개의 실근과 두개의 허근을 갖는 짝수차만 존재하는 형태인 로 하면 되겠다 싶었습니다.

비슷한 과정을 거쳐 라는 함수를 얻었고 이를 그래프로 표현해보면 아래와 같이 윗쪽이 좀더 평평하고 넓은 모양을 갖게 됩니다.

면적은 7.04㎡로 기존 면적인 5.87㎡보다 당연히 증가합니다. 이를 앞서 구한 2차함수, 그리고 사인함수와 비교해보면

이중 녹색으로 표시한 것이 4차 함수, 붉은색이 2차 함수, 푸른색이 삼각함수 입니다.

결론은 거실형 텐트의 단면 형상은 2차 함수가 아닌 4차 이상의 (짝수차) 고차함수다 라는 것입니다.